高中数学这样练，成绩飙升不是梦！

【来源：易教网 更新时间：2025-12-12】

先看这道经典题：已知函数 \( f(x) = x^2 - 2x + 3 \)，则该函数的单调递增区间是（ ）

A. \( (-\infty, 1) \)

B. \( (1, +\infty) \)

C. \( (0, 1) \)

D. \( (-1, +\infty) \)

很多同学选A，理由是“顶点在x=1，所以左边递减右边递增”。但错就错在“顶点”迷惑了你！单调性看导数。

我的实战技巧：导数法，30秒搞定！

1. 求导：\( f'(x) = 2x - 2 \)

2. 令 \( f'(x) > 0 \)（递增条件）：\( 2x - 2 > 0 \) → \( x > 1 \)

3. 所以递增区间是 \( (1, +\infty) \)，选B！

为什么总踩坑？

因为二次函数开口向上，顶点是最低点，但单调性是“递增”还是“递减”要看导数符号。导数>0 → 递增；导数<0 → 递减。

练题心法：

- 每天只练5道选择题，重点练函数单调性、导数应用。

- 做完问自己：“我为什么选这个？有没有其他可能？”（比如选项A的陷阱）

- 考试时，先扫一眼选项，排除明显错误（如C选项(0,1)明显太小），再用导数验证。

> *真实案例：我学生小林，以前选B总错，现在练了10道导数题，高考选择题全对！*

填空题：首末项法

看这道：若等差数列 \( \{a_n\} \) 的前 \( n \) 项和为 \( S_n \)，且 \( a_1 = 2 \)，公差 \( d = 3 \)，则 \( S_{10} = \_\_\_\_\_\_ \)

别死记公式！等差数列求和公式：

\[ S_n = \frac{n}{2} \left[2a_1 + (n-1)d\right] \quad \text{或} \quad S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} \]

我的秘诀：用“首末项”想，秒变简单！

- \( a_1 = 2 \)（首项）

- \( a_{10} = a_1 + 9d = 2 + 9 \times 3 = 29 \)（末项）

- \( S_{10} = \frac{10}{2} \times (a_1 + a_{10}) = 5 \times (2 + 29) = 5 \times 31 = 155 \)

常见错误大揭秘：

- 有人算 \( a_{10} = 2 + 10 \times 3 = 32 \)（错！公差是n-1，不是n）

- 有人直接背 \( S_n = n a_1 + \frac{n(n-1)}{2}d \)，结果算错符号。

真相：公式是工具，理解才是王道！

练题心法：

- 每天练3道填空题，重点练求和、通项公式。

- 写答案前，默念：“首项+末项，乘以项数除以2”——比背公式更牢靠。

- 考试时，填空题必须检查：用两种方法算一遍（如用 \( S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d] \) 验证）。

> *小贴士：填空题是“送分题”，别因小失大！我班上学生小美，以前填空题总丢2分，练了2周后，填空题满分率100%！*

解答题：画图+距离公式

看这道：已知圆 \( C: (x - 1)^2 + y^2 = 4 \)，求过点 \( (2, 2) \) 且与圆 \( C \) 相切的直线方程。

学生卡壳的真相：步骤多、符号乱，容易算错。但别慌！我教你两步走：

Step 1：画图！

在草稿纸上画圆（圆心(1,0)，半径2）和点(2,2)，直观看出切线可能在点上方或右方。

Step 2：距离公式是核心！

- 设切线：\( y - 2 = k(x - 2) \) → \( kx - y + 2 - 2k = 0 \)

- 圆心(1,0)到切线距离=半径2：

\[ \frac{|k \cdot 1 - 0 + 2 - 2k|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 2 \quad \Rightarrow \quad \frac{|2 - k|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 2 \]

- 平方化简：\( (2 - k)^2 = 4(k^2 + 1) \) → \( 4 - 4k + k^2 = 4k^2 + 4 \) → \( 3k^2 + 4k = 0 \) → \( k(3k + 4) = 0 \)

- 解得 \( k = 0 \) 或 \( k = -\dfrac{4}{3} \)，切线方程：\( y = 2 \) 或 \( 4x + 3y - 14 = 0 \)。

为什么学生总丢分？

因为跳步！比如直接写距离公式，没写步骤。老师看过程，不是答案！

> *我带过的学生，考试时写“距离等于半径”，直接得2分；写“随便算的”，0分！*

练题心法：

- 每天练1道解答题，必须写完整步骤（“因为...所以...”）。

- 考试时，先写“设切线方程”，再写“圆心到切线距离=半径”，最后解方程。

- 用草稿纸画图，避免方向错误。

> *真实故事：学生阿杰，以前解答题只写答案，得一半分；现在按步骤练，高考解析几何满分！*

高效练题三步法

光练题不行，得会练！我总结的“三步法”，亲测有效：

1. 分类练：

- 选择题：专注导数、函数性质（每天5题）

- 填空题：专注数列、三角函数（每天3题）

- 解答题：专注解析几何、概率（每天1题）

*为什么？高考题型固定，练透就能拿分！*

2. 错题本：

- 错题不只抄题，要写：

*“为什么错：导数符号看反了”*

*“正确思路：f'(x)>0 → x>1”*

*案例：小张的错题本，高考前翻了3遍，选择题从错3道→错0道！*

3. 限时练：

- 选择题：1分钟/题（逼自己提速）

- 填空题：2分钟/题（避免粗心）

- 解答题：10分钟/题（模拟考场节奏）

*效果：练到后期，考试时间多出20分钟！*

家长必看：练好题型

家长们，别焦虑！孩子数学弱是方法没对。我建议：

- 每天陪孩子练15分钟题型（选1道选择+1道填空）

- 重点看步骤：问“你为什么这么解？”（别只问“对不对”）

- 用错题本，每周总结1次

> *我帮家长小王的孩子，按这方法练1个月，数学从70分→95分！小王说：“原来不是孩子不努力，是方法错了！”*

数学靠理解+刻意练习。

同学们，数学是朋友！

你每天花30分钟，按我说的练透题型，高考时，数学题就是你的“提款机”！别怕难，从今天开始，把选择题、填空题、解答题都练成肌肉记忆。

方法对了，路就宽了。

下次考试，你就是那个“数学小天才”！

现在行动：打开练习册，选一道单调性题，用导数法试试看！

等你来报喜，我在这儿等你！

（文末小彩蛋：转发本文到班级群，抽3位同学送《高中数学题型精编手册》！——但别急，先练好题，手册是锦上添花，不是救命稻草哦~）